Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab i Elżbieta Świda
Wydawnictwo: Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro
Rok wydania: 2013
Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej 4.22 gwiazdek na podstawie 9 opinii

Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej

2.46. Zadanie
2.47. Zadanie
2.48. Zadanie
2.49. Zadanie
2.50. Zadanie

 

 

Doprowadzamy funkcję do postaci ogólnej wymnażając nawiasy, następnie, dzięki wzorom skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy uzyskujemy postać kanoniczną. 

Przypomnijmy te wzory:  

 

 

 

 

 

`f(x)=(x-1)(x+5)=x^2+5x-x-5=#(x^2+4x-5)_("p. ogólna")=x^2+4x+#(ul(4-4))_0-5=(x+2)^2-4-5=#((x+2)^2-9)_("p. kanoniczna")` 

 

 

`b)` 

`f(x)=-(x-6)(x+4)=-(x^2+4x-6x-24)=` `-(x^2-2x-24)=#(-x^2+2x+24)_("p. ogólna")=` 

`=-(x^2-2x+#(ul(1-1))_0-24)=-((x-1)^2-1-24)=-((x-1)^2-25)=#(-(x-1)^2+25)_("p. kanoniczna")`  

 

 

`c)` 

`f(x)=2(x+1)(x+5)=2(x^2+5x+x+5)=2(x^2+6x+5)=#(2x^2+12x+10)_("p. ogólna")=` 

`=2(x^2+6x+9-9+5)=2((x+3)^2-9+5)=2((x+3)^2-4)=#(2(x+3)^2-8)_("p. kanoniczna")` 

 

 

`d)` 

`f(x)=-1/2(x+6)(x-26)=-1/2(x^2-26x+6x-156)=#(-1/2x^2+10x+78)_("p. ogólna")=` 

`=-1/2(x^2-20x+100-100-156)=-1/2((x-10)^2-100-156)=-1/2((x-10)^2-256)=#(-1/2(x-10)^2+128)_("p. kanoniczna")` 

 

 

`e)` 

`f(x)=3/5(x-1)(x+5)=3/5(x^2+5x-x-5)=#(3/5x^2+12/5x-3)_("p. ogólna")=` 

`=3/5(x^2+4x+4-4-5)=3/5((x+2)^2-4-5)=3/5((x+2)^2-9)=#(3/5(x+2)^2-27/5)_("p. kanoniczna")` 

 

 

`f)` 

`f(x)=-2/3(x-3)(x-4)=-2/3(x^2-4x-3x+12)=#(-2/3x^2+14/3x-8)_("p. ogolna")=` 

`=-2/3(x^2-7x+12)=-2/3(x^2-2*1*7/2+(7/2)^2-(7/2)^2+12)=`  

`=-2/3((x-7/2)^2-49/4+48/4)=-2/3((x-7/2)^2-1/4)=` `#(-2/3(x-7/2)+1/6)_("p. kanoniczna")` 

 

 

 

Oczywiście mając postać ogólną, można także wyznaczyć postać kanoniczną w "standardowy" sposób, korzystając z poniższych wzorów:

`f(x)=ax^2+bx+c\ \ -\ \ "p. ogólna",\ \ \ Delta=b^2-4ac` 

`p=-b/(2a),\ \ \ q=-Delta/(4a),\ \ \ f(x)=a(x-p)^2+q\ \ -\ \ "p. kanoniczna"` 

 

 

 

 

 

`"II SPOSÓB"` 

Oś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek paraboli, ma więc równanie x=p.

Mając postać iloczynową, mamy miejsca zerowe, a miejsca zerowe muszą być symetryczne względem osi symetrii, czyli równanie osi symetrii wyznaczymy biorąc średnią arytmetyczna miejsc zerowych:

`x_1,\ x_2\ -\ "m. zerowe"\ \ \ =>\ \ \ x=p=(x_1+x_2)/2\ \ -\ \ "oś symetrii paraboli"` 

Z kolei mając oś symetrii (czyli pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli) możemy obliczyć jego drugą współrzędną, korzystając z tego, że wierzchołek należy do paraboli, czyli wartość przyjmowana dla argumentu p jest równa q:

`f(p)=q` 

Postać kanoniczna dana jest wzorem: 

`f(x)=a(x-p)^2+q` 

 

 

`a)` 

`x_1=1,\ \ x_2=-5\ \ \ =>\ \ \ x=p=(1+(-5))/2=(-4)/2=-2\ \ -\ \ "oś symetrii"`  

`q=f(-2)=(-2-1)*(-2+5)=-3*3=-9`  

`f(x)=(x+2)^2-9\ \ -\ \ "p. kanoniczna"` 

 

 

 

`b)`  

`x_1=6,\ \ x_2=-4\ \ \ =>\ \ \ x=p=(6+(-4))/2=2/2=1\ \ -\ \ "oś symetrii"`   

`q=f(1)=-(1-6)*(1+4)=5*5=25` 

`f(x)=-(x-1)^2+25\ \ -\ \ "p. kanoniczna"` 

 

 

`c)` 

`x_1=-1,\ \ \x_2=-5\ \ \ =>\ \ \ x=p=(-1+(-5))/2=(-6)/2=-3\ \ \ -\ \ \ "oś symetrii"`  

`q=f(-3)=2*(-3+1)*(-3+5)=2*(-2)*2=-8` 

`f(x)=2(x+3)^2-8\ \ -\ \ "p. kanoniczna"` 

 

 

`d)` 

`x_1=-6,\ \ x_2=26\ \ \ =>\ \ \ x=p=(-6+26)/2=20/2=10\ \ -\ \ "oś symetrii"`   

`q=f(10)=-1/2*(10+6)*(10-26)=-1/2*16*(-16)=1/2*256=128` 

`f(x)=-1/2(x-10)^2+128\ \ -\ \ "p. kanoniczna"` 

 

 

`e)` 

`x_1=1,\ \ x_2=-5\ \ \ =>\ \ \ x=p=(1+(-5))/2=(-4)/2=-2\ \ -\ \ "oś symetrii"` 

`q=f(-2)=3/5*(-2-1)*(-2+5)=3/5*(-3)*3=-27/5` 

`f(x)=3/5(x+2)^2-27/5\ \ -\ \ "p. kanoniczna"` 

 

 

`f)` 

`x_1=3,\ \ x_2=4\ \ \ =>\ \ \ x=p=(3+4)/2=7/2\ \ -\ \ "oś symetrii"` 

`q=f(7/2)=-2/3*(7/2-3)*(7/2-4)=-2/3*1/2*(-1/2)=` `1/6` 

`f(x)=-2/3(x-7/2)^2+1/6\ \ -\ \ "p. kanoniczna"`