Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2016
Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii

a)

Trójkąt wyznaczony przez kąt środkowy i cięciwę łączącą punkty przecięcia ramion tego kąta z okręgiem jest równoboczny, ponieważ ramiona tego kąta to promienie, a długość cięciwy jest również- jak oznaczono na rysunku- o długości promienia. 

Kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego wynoszą 60 o , dlatego:

Kąt γ to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy  ß , ma więc miarę dwa razy od niego mniejszą.

b)

I sposób

Podobnie jak w podpunkcie a) kąt α to kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego

Natomiast trójkąt którego kątami wewnętrznymi są kąty  γ  i  ß  jest równoramienny, a co za tym idzie, kąty leżące przy jego ramionach -  γ  i  ß - są równe.

Trzeci kąt tego trójkąta równoramiennego- oznaczmy jako  δ - jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany  α , zatem ma miarę dwa razy większą niż  α .

Teraz korzystamy z sumy miar kątów w trójkącie, która wynosi zawsze 180 o . Sumujemy kąt  δ , gamma,  ß .

Wstawiamy gamma= ß  i delta=60 o

II sposób

Podobnie jak w podpunkcie a) kąt α to kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego

Trójkąt o kątach wewnętrznych  α  i  ß  to trójkąt prostokątny (jest to trójkąt oparty na średnicy tego okręgu). Kąt który w sumie z kątem  γ  buduje kąt prosty jest również kątem wewnętrznym trójkąta równobocznego, zatem

Natomiast trójkąt którego kątami wewnętrznymi są kąty  γ  i  ß  jest równoramienny, a co zatym idzie, kąty leżące przy jego ramionach -zatem  γ  i  ß - są równe.

c)

 

Czworokąt o kącie wewnętrznym  α  jest rombem, ponieważ wszystkiego jego boki są długości r. Naprzeciwległe kąty rombu mają równe miary, zatem oznaczamy ten kąt również jako  α .

Po dorysowaniu promienia w jednym miejscu zauważamy, że romb ten można podzielić na dwa trójkąty równoboczne, zatem kąt  α  budują dwa kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego- kąty o mierze 60 o .

Obliczamy teraz kąt  ß  korzystając z własności, że kąt pełny ma miarę 360 o .

Kąt  γ  to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy  α .