Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2015
Naszkicuj proste o współczynnikach kierunkowych 4.25 gwiazdek na podstawie 8 opinii

Mamy podane współczynniki kierunkowe prostych, oznaczmy proste:

 

 

 

`f_4(x)=-2x+d` 

`f_5(x)=-3x+e` 

 

 

`a)` 

Do każdej z tych prostych należy punkt P=(0, 2). Korzystając z twierdzenia podanego na stronie 101 wiemy już od razu, że współczynniki a, b, c, d, e muszą być równe 2. 

Dla każdej prostej obliczamy współrzędne jeszcze jednego punktu, który należy do wykresu tej prostej. 

`f_1(x)=x+2` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=1+2=3` 

 

`f_2(x)=2x+2` 

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-1)+2=-2+2=0` 

 

`f_3(x)=3x+2` 

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=3*(-1)+2=-3+2=-1` 

 

`f_4(x)=-2x+2` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-2*1+2=-2+2=0` 

 

`f_5(x)=-3x+2` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-3*1+2=-3+2=-1` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`  

 

 

`b)` 

Do każdej z tych prostych należy punkt P=(0, -4). Korzystając z twierdzenia podanego na stronie 101 wiemy już od razu, że współczynniki a, b, c, d, e muszą być równe -4. 

 

Dla każdej prostej obliczamy współrzędne jeszcze jednego punktu, który należy do wykresu tej prostej. 

 

`f_1(x)=x-4` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=3-4=-1` 

 

`f_2(x)=2x-4` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1-4=2-4=-2` 

 

`f_3(x)=3x-4` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=3*1-4=3-4=-1` 

 

`f_4(x)=-2x-4` 

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-2*(-1)-4=2-4=-2` 

 

`f_5(x)=-3x-4` 

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-3*(-1)-4=3-4=-1` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

 

`c)` 

Punkt P=(3, 0) jest miejscem zerowym każdej z prostych. Korzystając z twierdzenia podanego na stronie 103 łatwo wyliczymy współczynniki a, b, c, d, e każdej z prostych. 

Potem dla każdej prostej podamy współrzędne punktu przecięcia z osią OY (wtedy łatwo narysujemy wykresy, bo dla każdej prostej będziemy mieć dwa punkty). 

 

`f_1(x)=x+a` 

`-a/1=3\ \ \ |*(-1)` 

`a=-3` 

`f_1(x)=x-3\ \ \ \ =>\ \ \ punkt\ (0,\ -3)` 

 

 

 

`f_2(x)=2x+b` 

`-b/2=3\ \ \ \ |*(-2)` 

`b=-6` 

`f_2(x)=2x-6\ \ \ =>\ \ \ punkt\ (0,\ -6)` 

 

 

`f_3(x)=3x+c` 

`-c/3=3\ \ \ \ |*(-3)` 

`c=-9` 

`f_3(x)=3x-9\ \ \ =>\ \ \ punkt\ (0,\ -9)` 

 

 

`f_4(x)=-2x+d` 

`-d/(-2)=3` 

`d/2=3\ \ \ \ |*2` 

`d=6` 

`f_4(x)=-2x+6\ \ \ =>\ \ \ punkt\ (0,\ 6)` 

 

`f_5(x)=-3x+e` 

`-e/(-3)=3` 

`e/3=3\ \ \ |*3` 

`e=9` 

`f_5(x)=-3x+9\ \ \ =>\ \ \ punkt \ (0,\ 9)` 

 

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

 

 

`d)` 

Podstawiając współrzędne punktu P do równania każdej z prostych wyliczymy współczynniki a, b, c, d, e.

Dla każdej z prostych podajemy także współrzędne drugeigo punktu, przez który przechodzi wykres. 

 

`f_1(x)=x+a` 

`-2=-4+a\ \ \ \ \|+4` 

`a=2` 

`f_1(x)=x+2\ \ \ ->\ \ \ punkt \ (0,\ 2)`  

 

 

`f_2(x)=2x+b` 

`-2=2*(-4)+b`   

`-2=-8+b\ \ \ \ |+8` 

`b=6` 

`f_2(x)=2x+6\ \ \ \ ->\ \ \ \ punkt\ (0,\ 6)` 

 

 

`f_3(x)=3x+c` 

`-2=3*(-4)+c` 

`-2=-12+c \ \ \ \ |+12`  

`c =10` 

`f_3(x)=3x+10` 

Punkt przecięcia z osią OY to (0, 12) - ma on dość dużą drugą współrzędną, więc poszukajmy innego punktu należącego do wykres tej funkcji. Tak samo zrobimy dla pozostałych dwóch funkcji. 

`x=-3\ \ \ \ ->\ \ \ y=3*(-3)+10=-9+10=1`   

 

 

`f_4(x)=-2x+d` 

`-2=-2*(-4)+d` 

`-2=8+d\ \ \ \ |-8` 

`d=-10` 

`f_4(x)=-2x-10` 

`x=-3\ \ \ ->\ \ \ y=-2*(-3)-10=6-10=-4` 

 

 

`f_5(x)=-3x+e` 

`-2=-3*(-4)+e` 

`-2=12+e\ \ \ \ |-12` 

`e=-14` 

`f_5(x)=-3x-14`   

` ` `x=-3\ \ \ ->\ \ \ y=-3*(-3)-14=9-14=-5` 

 

 

 

UWAGA:

Zadanie można rozwiązywać także w następujący sposób:

1. Zaznaczamy w układzie współrzędnych punkt P

2. Kreślimy proste korzystając z interpretacji geometrycznej współczynnika kierunkowego:

  • współczynnik kierunkowy 1: wzrost argumentu funkcji o 1 jednostkę odpowiada wzrostowi wartości funkcji o 1 jednostkę
  • współczynnik kierunkowy 2: wzrost argumentu funkcji o 1 jednostkę odpowiada wzrostowi wartości funkcji o 2 jednostki
  • współczynnik kierunkowy 3: wzrost argumentu funkcji o 1 jednostkę odpowiada wzrostowi wartości funkcji o 3 jednostki
  • współczynnik kierunkowy -2: wzrost argumentu funkcji o 1 jednostkę odpowiada spadkowi wartości funkcji o 2 jednostki
  • współczynnik kierunkowy -3: wzrost argumentu funkcji o 1 jednostkę odpowiada spadkowi wartości funkcji o 3 jednostki