Matematyka
 
Policzmy to razem 2 (Podręcznik)
 
Autorzy: Jerzy Janowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2016
Sprawdź, które z poniższych równości są prawdziwe 4.2 gwiazdek na podstawie 5 opinii

Warto pamiętać, że -1 podniesione do potęgi parzystej daje 1 (bo wtedy każdy minus ma "parę", a dwa minus dają plus), natomiast -1 podniesione do potęgi nieparzystej daje -1 (bo wtedy jeden minus nie ma "pary", dlatego wynik jest ujemny).

Lewą stronę równości oznaczylismy jako L, prawą stronę oznaczylismy jako P.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przeanalizujmy jeszcze, co by było dla n=-7.

 

 

 

Zauważ, że jeśli n jest liczbą parzystą to po lewej stronie pojawia się 0 - dwie kolejne potęgi to -1 i 1, więc w sumie dają 0. Natomiast po prawej stronie pojawia się 1 lub -1 (w zależności od tego, czy po podzieleniu n przez 2 mamy liczbę parzystą czy nie). Jeśli n było liczbą parzystą, to równość nigdy nie będzie prawdziwa - 0 nigdy nie będzie równe 1 lub -1.

 

Jeśli natomiast n jest liczbą nieparzystą, to po lewej stronie otrzymujemy -1, ponieważ wszystkie składniki, poza ostatnim sumują się do 0 (mamy pary, które dają 0), a ostatni składnik, czyli -1 do potęgi -n jest równy -1, bo n jest nieparzyste.

Po prawej stronie otrzymamy 1 tylko wtedy, gdy ilość potęg nieparzystych jest także nieparzysta (wtedy jedna -1 nie ma "pary"). Jest tak dla n=5, kolejnym dobrym n będzie 9, 13 itd.

Równość zachodzi więc tylko dla tych liczb n, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1.  (W ODPOWIEDZIACH BŁĘDNIE PODANO, ŻE DLA WSZYSTKICH LICZB NIEPARZYSTYCH - PRZECIEŻ JUŻ DLA n=7 RÓWNOŚĆ NIE ZACHODZI!)