Autorzy:Agnieszka Bożek, Katarzyna Nessing, Jadwiga Salach
Wydawnictwo:WSiP
Rok wydania:2016
Ciało wykonuje drgania harmoniczne. Początkowa faza drgań wynosi...4.54 gwiazdek na podstawie 13 opinii

Ciało wykonuje drgania harmoniczne. Początkowa faza drgań wynosi...

Zadanie 7.15Zadanie
Zadanie 7.16Zadanie
Zadanie 7.17Zadanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

`phi=0,5pi=pi/2` 

`A=12\ cm=0,12\ m` 

`T=3\ s` 

 

`a)` 

W zadaniu podane mamy, że:

`x=0,5A=A/2` 

Zapiszmy równanie położeniania dla naszego przypadku:

`x=Asin(omegat+phi)` 

Wiemy, że częstości możemy wyrazić jako:

`omega=(2pi)/T` 

Z tego otrzymujemy, że:

`x=Asin((2pi)/T*t+phi)` 

`A/2=Asin((2pi)/T*t+pi/2)\ \ \ \ |:A` 

`1/2=sin((2pi)/T*t+pi/2)`  

Korzystając z funkcji trygonometrycznych wiemy, że:

`sin alpha=1/2\ \ \ =>\ \ \ alpha=pi/6 ` 

Wówczas otrzymujemy, że:

`(2pi)/T*t+pi/2=pi/6\ \ \ \ |:pi` 

`2/T *t+1/2=1/6\ \ \ \ \ |-1/2` 

`2/T*t = 1/6-1/2`  

`2/T*t = 1/6-3/6` 

`2/T*t = -2/6\ \ \ \ \ |:2` 

 `1/T *t = -1/6\ \ \ \ \ |*T` 

`t=-T/6` 

Pamiętajmy jednak, że czas nie może być ujemny. Możemy zatem zapisać:

`t=T/6` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`t= (3\ s)/6 =0,5\ s` 

 

`b)` 

Korzystamy z ogólnego wzoru na współrzędną prędkości ciała:

`v_x (t)=Aomega cos(omegat+phi)`   

Wiemy, że częstość możemy wyrazić jako:

`omega = (2pi)/T` 

Wówczas otrzymujemy, że:

`v_x(t)=A (2pi)/T cos((2pi)/T*t+phi)`  

`v_x(t) = (2piA)/T cos((2pi)/T*t+pi/2)`   

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`v_x(t) = (2*3,14*0,12\ m)/(3\ s) *cos( (2pi)/(3\ s)*0,5\ s+pi/2 ) = (0,7536\ m)/(3\ s) *cos( (2pi)/(3\ s)*1/2\ s+pi/2 ) = 0,2512\ m/s* cos( pi/3 +pi/2 ) `  

Korzystamy z wzorów redukcyjnych dla funkcji trygonometrycznych:

`cos(alpha+pi/2) = -sin alpha` 

Z tego wynika, że:

`v_x(t)=0,2512\ m/s *(-sin(pi/3))= -0,2512\ m/s *sin ( pi/3 ) = -0,2512\ m/s *sqrt3/2 =`  

`\ \ = -0,2512\ m/s* 0,866 ~~-0,218\ m/s= -0,218\ (100\ cm)/s = -21,8\ (cm)/s`   

Powyżej otrzymaliśmy współrzędną prędkości ciała. Oznacza to, że wartość prędkości wynosi:

`v=21,8\ (cm)/s`