Autorzy:Bogdan Mendel, Janusz Mendel, Teresa Stolecka, Elżbieta Wójtowicz
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2015
Dwa głośniki ustawione w odległości d=5 m od siebie emitują dźwięki zgodne w fazie...4.6 gwiazdek na podstawie 10 opinii

Dwa głośniki ustawione w odległości d=5 m od siebie emitują dźwięki zgodne w fazie...

6.3.11.Zadanie
6.3.12.Zadanie
6.3.13.Zadanie

Wypiszmy dane liczbowe podane w zadaniu:

`d=5\ m` 

`f=850\ Hz` 

`v=340\ m/s` 

`l=4\ m` 

 

Szukamy miejsce wzmocnienia dźwięku. Wiemy, że wzór na wzmocnienie fali w zależności od kąta ma postać:

`dsinalpha_n=lambdan` 

Otrzymujemy wówczas, że kąt można wyrazic przy pomocy wzoru:

`sinalpha_n=(lambdan)/d` 

Gdzie dla n=3 ma postać:

`sinalpha_3=(3lambda)/d` 

 

Sinus tego kąta można wyznaczyć również z własności funkcji trygonometrycznych i twierdzenia Pitagorasa:

`sinalpha_3=x/(sqrt(x^2+l^2))` 

Gdzie x jest miejscem wzmocnienia dźwięku. Porównujemy obie zależności na kąt oraz wyznaczamy z nich wartość x:

`(3lambda)/d =x/sqrt(x^2+l^2)\ \ \ \ |\ "podnosimy do kwadratu"` 

`(9lambda^2)/d^2 = x^2/(x^2+l^2) ` 

Wymnażamy na krzyż:

`9lambda^2(x^2+l^2)=d^2x^2` 

`9lambda^2x^2+9lambda^2l^2=d^2x^2\ \ \ \ |-9lambda^2l^2`  

`9lambda^2x^2=-9lambda^2l^2+d^2x^2\ \ \ \ |-d^2x^2` 

`-d^2x^2+9lambda^2x^2=-9lambda^2l^2\ \ \ \ |*(-1)` 

`d^2x^2-9lambda^2x^2=9lambda^2l^2` 

`x^2(d^2-9lambda^2)=9lambda^2l^2\ \ \ \ |:(d^2-9lambda^2) ` 

`x^2=(9lambda^2l^2)/(d^2-9lambda^2)\ \ \ \ |\ "pierwiastkujemy" ` 

`x=(3lambdal)/(sqrt(d^2-9lambda^2))` 

Gdzie długość fali wyraża się zależnością:

`lambda=v/f` 

Wówczas odległość od punktu A, kiedy człowiek usłyszy trzecie wzmocnienie wynosi:

`x=(3vl)/(fsqrt(d^2-9(v/f)^2)) ` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`x=(3*340\ m/s*4\ m)/(850\ Hz*sqrt((5\ m)^2-9*((340\ m/s)/(850\ Hz))^2)) = (4080\ m^2/s)/(850\ 1/s*sqrt(25\ m^2-9*(0,4\ m)^2))=(4080\ m/s^2)/(850\ 1/s*sqrt(25\ m^2-9*0,16\ m^2)) = (4080\ m^2/s)/(850\ 1/s*sqrt(25\ m^2-1,44 m^2)) = `  

`=(4080\ m^2/s)/(850\ 1/s*sqrt(23,56\ m^2))=(4080\ m^2/s)/(850\ 1/s*4,854\ m) = (4080\ m^2/s)/(4125,78\ m/s)=0,9889\ m~~0,99\ m=99\ cm`      

 

 

Szukamy miejsce wygaszenia dźwięku. Wiemy, że wzór na wygaszenie fali w zależności od kąta ma postać:

`dsinalpha_n=(2n-1)(lambda)/2` 

Otrzymujemy wówczas, że kąt można wyrazic przy pomocy wzoru:

`sinalpha_n=(2n-1)(lambda)/(2d)` 

Gdzie dla n=n ma postać:

`sinalpha_2=(2*2-1)(lambda)/(2d)` 

`sinalpha_2=(3lambda)/(2d)` 

Sinus tego kąta można wyznaczyć również z własności funkcji trygonometrycznych i twierdzenia Pitagorasa:

`sinalpha_2=x/(sqrt(x^2+l^2))` 

Gdzie x jest miejscem wzmocnienia dźwięku. Porównujemy obie zależności na kąt oraz wyznaczamy z nich wartość x:

`(3lambda)/(2d)=(x)/(sqrt(x^2+l^2))\ \ \ \ |\ "podnosimy do kwadratu"` 

`(9lambda^2)/(4d^2)=(x^2)/(x^2+l^2)` 

Wymnażamy na krzyż:

`4d^2x^2=9lambda^2(x^2+l^2)` 

`4d^2x^2=9lambda^2x^2+9lambda^2l^2\ \ \ \ |-9lambda^2x^2` 

`4d^2x^2-9lambda^2x^2=9lambda^2l^2`  

`x^2(4d^2-9lambda^2)=9lambda^2l^2\ \ \ \ |:(4d^2-9lambda^2)` 

`x^2=(9lambda^2l^2)/(4d^2-9lambda^2)\ \ \ \ |\ "pierwiastkujemy"`  

`x=(3lambdal)/(sqrt(4d^2-9lambda^2))`   

Gdzie długość fali wyraża się zależnością:

`lambda=v/f` 

Wówczas odległość od punktu A, kiedy nastąpi drugie wygaszenie wynosi:

`x=(3vl)/(fsqrt(4d^2-9(v/f)^2))` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`x=(3*340\ m/s*4\ m)/(850\ Hz*sqrt(4*(5\ m)^2-9*((340\ m/s)/(850\ Hz))^2))=(4080\ m^2/s)/(850\ 1/s*sqrt(4*25\ m^2-9*(0,4\ m)^2)) = (4080\ m^2/s)/(850\ 1/s*sqrt(100\ m^2-9*0,16 m^2))=(4080\ m^2/s)/(850\ 1/s*sqrt(100\ m^2-1,44 m^2))= ` 

`= (4080\ m^2/s)/(850\ 1/s*sqrt(98,56\ m^2))=(4080\ m^2/s)/(850\ 1/s*9,93\ m)=(4080\ m^2/s)/(8438,58\ m/s) = 0,48\ m=48\ cm`