Autorzy:Bogdan Mendel, Janusz Mendel, Teresa Stolecka, Elżbieta Wójtowicz
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2015
Do zwisającej pionowo liny bungee przyczepiono metalowy obciążnik...4.64 gwiazdek na podstawie 11 opinii

Do zwisającej pionowo liny bungee przyczepiono metalowy obciążnik...

5.4.11.Zadanie
5.4.12.Zadanie
5.4.13.Zadanie
5.4.14.Zadanie
5.4.15.Zadanie
5.4.16.Zadanie

Wypiszmy dane liczbowe podane w zadaniu:

`m=5\ kg` 

`x_0=50\ cm=0,5\ m` 

`x=25\ cm=0,25\ cm` 

`g=10\ m/s^2` 

 

`a)` 

Energię kinetyczną wyznaczamy z zależności:

`E_c=E_k+E_p`

`E_k=E_c-E_p`

`E_k=(kx^2)/2 -(ky^2)/2`

`E_k=k/2 (x^2-y^2)` 

 

Gdzie y jest wychyleniem z położenia równowagi. 

Wyznaczmy współczynnik sprężystości. Wiemy, że okres drgania wahadła możemy opisać przez dwa wzoru:

`T=2pisqrt(l/g)` ` `

`T=2pisqrt(m/k\)` 

Porównujemy je i otrzymujemy, że:

`2pisqrt(l/g)=2pisqrt(m/k)\ \ \ \ |:2pi `

`sqrt(l/g)=sqrt(m/k)\ \ \ \ |\ "podnosimy do kwadratu"`

`l/(g)=m/k\ \ \ \ \|*k`   

`l/(g)*k=m\ \ \ \ \ |*g/l` 

` ` `k=(mg)/l` 

Gdzie dla naszego przypadku:

`l=x_0` 

Wówczas otrzymujemy, że:

`k=(mg)/(x_0)` 

Ostatecznie wzór na energie kinetyczną będzie mieć postać:

`E_k(y)=(mg)/(2x_0) (x^2-y^2)` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`E_k(y) = (5\ kg*10\ m/s^2)/(2*0,5\ m)*((0,25\ m)^2-y^2) =(50\ (kg*m)/s^2)/(1\ m)*(0,0625\ m^2 - y^2)=50\ (kg)/s^2*(0,0625\ m^2\ -\ y^2)`   

 

`b)` 

Dla tego przypadku mamy, że energia kinetyczna ma postać:

`E_k=(kx_2^2)/2` 

gdzie:

`k=(mg)/x_0` 

`x_2=Asin(omegat+phi)\ \ =>\ \ x_2=xsin(omegat)` 

Wyznaczamy prędkość kątową:

`omega=(2pi)/T\ \ =>\ \ omega=(2pi)/(2pisqrt(x_0/g))\ \ =>\ \ omega=sqrt(g/x_0)`     

Wówczas wzór na energię zależny od czasu ma postać:

`E_k(t)=((mg)/x_0)/2*(xsin(omegat))^2` 

`E_k(t)=(mgx^2)/(2x_0)sin^2(sqrt(g/x_0)t)` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`E_k(t) = (5\ kg*10\ m/s^2*(0,25\ m)^2)/(2*0,5\ m)*sin(sqrt((10\ m/s^2)/(0,5\ m))*t) = (3,125\ kg* m^3/s^2)/(1\ m) *sin(sqrt(20\ 1/s^2)*t)=3,125\ kg*m^2/s^2 * sin(4,472\ 1/s*t) `